Peter Geach, Reason and Argument XI (mit deutscher Übersetzung)

11. Existential Import of Sentence Schemata

This formidable title just means: What does a predicative proposition, schematically represented, imply as to what there is or is not to be found in the given Universe?

‘No’ schemata are easy; ‘No F is G’ means that nothing occurs in the Universe that both is F and is G. ‘Some F is G’ is treated as true if at least one thing both is F and is G, and implies no more than this. In ordinary language ‘some’ may be double-edged: ‘Some men are wise’ may be meant to imply ‘. . . and others are otherwise’. But if such an implication is intended in formal logic, it must be made explicit: ‘Some F is G and some F is G’’

About ‘every’ forms there are differing conventions. In ordinary language there are proverbial expressions where the very point is not to infer ‘Some F is G’ from ‘Every F is G’:

(1) Every rainbow’s end has a crock of gold buried under it.

(2) Every honest miller has a golden thumb.

There is here implied a reading of ‘Every F is G’ as meaning simply ‘No F is G’’

(1) Univ. = places on Earth; . F* = * is the end of a rainbow; G* = a crock of gold is buried under *

(2) Univ = persons: F* = * is an honest miller; G* = * has a golden thumb.

And it is further hinted (though not logically implied) that ‘No F is G’’ comes out true because nothing in the Universe is F. On the other hand, many ordinary-language ‘every’ propositions clearly are meant to imply the corresponding ‘some’ propositions: e.g. ‘Everybody in this room perfectly understands logic’. (A logical example need not be true. False propositions can figure as premises and conclusions in logical work; in fact it is by drawing conclusions from a false proposition that we find out it is false.)

Some logic texts (Lewis Carroll in Symbolic Logic and The Game of Logic) use this convention — that ‘Every F is G’ does imply ‘Some F is G’. In that case the rainbow’s end and honest miller examples will not be represented as ‘Every F is G’ but as ‘No F is G’’, whereas the example about people in this room will be represented by ‘Every F is G’. (Work ou ta specification of the Universe and interpretation of ‘F*’ and ‘G*’ for this last example.)

Most recent texts follow a different convention — that ‘Every F is G’ is always equivalent to ‘No F is G’’ and no more. In that case the example about people in this room will be represented not by ‘Every F is G’ but by ‘Every F is G and some F is G’.

This is a matter of convention, purely. In working examples follow this practice:

As regards an ordinary-language ‘every’ proposition, consider whether it is the likely meaning that the ‘some’ proposition is also implied; settle this before you pass from English to schemata.

State which convention you are employing for the ‘every’ form in schemata, and stick to that convention.

The ‘some’, ‘every’, or ‘no’ form can be reduced to an existential proposition to the effect that in the Universe there are or are not things answering to some complex description. Thus if we write ‘= O’ to show that there are no things in the Universe answering a given description, and ‘≠ O’ to show that there are somesuch things, we get the following results:

Some F is G: FG # O
No F is G: FG = O
Every F is G: FG’= O

(or with Lewis Carroll’s convention: FG’ = O and FG ≠ O).

11. Logik und Existenz

Ich möchte mit dem etwas hochtrabenden Titel auf die Frage hinweisen: Welche existenziellen Konsequenzen, welche Folgeannahmen in Bezug auf das, was in dem vorgegebenen Gegenstandsbereich existiert oder nicht existiert, hat eine in unserem Schematismus dargestellte prädikative Aussage?

Schemata mit dem Quantor „nicht“ sprechen für sich selbst: „Kein F ist G“ heißt einfach, dass in unserem Gegenstandsbereich kein Gegenstand vorkommt, der zugleich F und G ist. „Einige F sind G“ ist nur dann wahr, wenn zumindest ein Gegenstand sowohl F wie auch G ist, es kann natürlich auch mehr als ein Gegenstand sein, aber nicht alle, es kann natürlich auch nur einer sein, aber nicht keiner. „Einige“ kann zweideutig gebraucht werden: „Einige Menschen sind weise“ könnte die Aussage implizieren: „und einige sind es nicht.“ Wenn wir aber eine solche Implikation im Bereich der formalen Logik mitmeinen, müssen wir sie ausdrücklich machen. Also lautet in diesem Falle der eigentlich gemeinte Satz: „Einige F sind G und einige F sind G’.“

Bei den Satzformen, die mit dem Quantor „einige“ gebildet werden, herrschen unterschiedliche Konventionen. In der Umgangssprache benutzen wir sprichwörtliche Wendungen, bei denen die Pointe darin besteht, den Schluss von „Alle F sind G“ auf „Einige F sind G“ nicht zuzulassen.

(1) Unterm Ende eines jeden Regenbogens liegt ein Topf voll Gold vergraben.

(2) Jeder ehrenhafte Müller hat einen goldenen Daumen.

Bei solchen Sätzen müssen wir achtgeben. Hier ist nicht der Schluss von „Jedes F ist G“ auf „Einige F sind G“ impliziert, sondern der Schluss von „Jedes F ist G“ auf „Kein F ist G’“.

(1) Universum = Orte auf der Erde. F* = * ist das Ende eines Regenbogens. G* = Ein Topf voll Gold liegt unter *

(2) Universum = Personen. F* = * ist ein ehrenhafter Müller. G* = * hat einen goldenen Daumen.

Ferner ist angedeutet (wenn auch nicht logisch impliziert), dass „Kein F ist G’“ oder „Kein F ist nicht G“ wahr ist, weil es keinen Gegenstand im gegebenen Universum gibt, der F ist. Andererseits finden wir im täglichen Sprachgebrauch jede Menge Sätze mit den Quantoren „alle“ und „jeder“, die den entsprechenden Satz „Einige sind F“ implizieren. Beispiel: „Jeder, der das liest, versteht perfekt Logik.“ (Ein Beispielsatz aus der Logik muss nicht wahr sein. Falsche Aussagen tun ihren guten Dienst als Prämissen und Konklusionen in Lehrbüchern der Logik. Und in der Tat, wir finden die Falschheit einer Aussage heraus, wenn wir aus ihr Konklusionen ziehen.)

Einige Bücher über Logik (wie Lewis Carrolls Symbolic Logic oder sein Buch The Game of Logic) halten an der Konvention fest, dass der Satz „Alle F sind G“ den Satz „Einige F sind G“ impliziere. In diesem Falle würden die Sätze über das Ende des Regenbogens und den ehrenhaften Müller nicht durch das Schema „Alle F sind G“, sondern das Schema „Kein F ist G’“ dargestellt, wogegen der Beispielsatz über die Leser dieser Zeilen korrekt durch das Schema „Alle F sind G“ wiedergegeben würde. (Du könntest für das letztere Beispiel einmal wie oben vorexerziert den Gegenstandsbereich nennen und die korrekte Interpretation der Formeln „F*“ und „G*“ hinschreiben.)

Die meisten neueren Bücher über Logik halten sich an die Konvention, dass der Satz „Jedes F ist G“ dem Satz „Kein F ist G’“ äquivalent ist, nicht mehr und nicht weniger. Unser Beispielsatz über alle Leser dieser Zeilen würde in diesem Falle nicht durch den Satz „Alle F sind G“ dargestellt, sondern durch den Satz „Alle F sind G und einige F sind G“.

Das ist nur eine Frage der Konvention. Wenn wir an Beispielaufgaben sitzen, gehen wir am besten so vor:

1. Haben wir eine alltagsprachliche Aussage mit dem Quantor „einige“ vor uns, überlegen wir uns, welche Bedeutung wahrscheinlich von der Aussage impliziert wird. Das regeln wir, bevor wir einen deutschen Satz schematisieren.
2. Wir legen fest, welche Konvention wir bei der Verwendung des Quantors „einige“ verwenden wollen, und halten uns daran, solange wir das Beispiel ausarbeiten.

Mit den Quantoren mit der Bedeutung „einige“, „alle“ und „nicht“ oder „keiner“ können wir quantifizierte Aussagen bilden, mit deren Hilfe wir feststellen, ob es in dem festgelegten Gegenstandsbereich Gegenstände gibt oder nicht gibt, die der komplexen Beschreibung entsprechen. Wir verwenden zum Zeichen, dass es keine Gegenstände in unserem Universum gibt, die der gegebenen Beschreibung entsprechen, den Ausdruck „= O“, zum Zeichen, dass es einige Gegenstände gibt, die der Beschreibung entsprechen, den Ausdruck „≠ O“. Dann erhalten wir folgende logischen Schemata mit Angaben ihrer existentiellen Quantifikation:

Einige F sind G: FG ≠ O
Kein F ist G: FG = O
Alle F sind G: FG’ = O
(oder mit der Konvention von Lewis Carroll:
Alle F sind G: FG’ = O und FG ≠ O)