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Peter Geach, Reason and Argument X (mit deutscher Übersetzung)


10. Logical Schemata

The following three arguments, though obviously different in grammatical form, are instances of a single logical form:

1. Every philosopher is mortal; Socrates is a philosopher; therefore Socrates is mortal.

2. Edith envies everybody luckier than Edith; Herbert is luckier than Edith; therefore Edith envies Herbert.

3. Herbert is less lucky than everybody who envies Herbert; Edith envies Herbert; therefore Herbert is less lucky than Edith.

The only practical way of representing a logical form is the one invented by Aristotle; in this instance we should get:

4. Every F is G; a is F; therefore a is G.

The letters ‘F’, ‘G’ and ‘a’ are called schematic letters and (4) is called a schema (a term coming down from Aristotle). Textbooks often use the word ‘variables’; but they use this term also for other uses of single letters — these will not concern us for the present.

Each schematic letter has a certain range of interpre­tations: the small letter ‘a’ is a letter representing proper names. When we pass from ‘a is G’ to ‘Socrates is a man’ we are interpreting ‘a’ by ‘Socrates’. We speak of the category of proper names.

It is convenient to consider in the first instance arguments concerned with objects contained within some definite class. This class is called the Universe of Discourse. The Universe for the arguments we are presently considering is the class of human beings.

There are various things that hold good or do not hold good of each object in such a Universe; e.g. that he/she is a philosopher, that Edith envies him/her, that he/she is luckier than Edith. Expressions for what holds good or does not hold good of objects in a Universe are called predicates. Predicates are a different category from proper names. The big letters ‘F ’ and ‘G’ represent predicates.

The word ‘is’ is a mere concession to English idiom and plays no essential logical role (cf. Russian: ‘John clever’, ‘John rascal’). In logic a proper name and a predicate fit together to make a sentence; logicians regularly use the notation ‘Fa’ rather than the ‘a is F’ that I have been using. So there’s no objection to counting ‘Edith envies Herbert’ and ‘Socrates is mortal’ as two concrete interpretations of ‘Fa’, even though one has an ‘is’ in it and the other doesn’t.

The quickest and easiest way to give interpretations of predicate letters is to stick in an asterisk, ‘*’; this is a mere gap-filling sign — the gap may be filled with the name of any old object in the Universe. Thus given:

a = Edith, F* = * envies Herbert or again

a = Herbert, F* = Edith envies *

we get ‘Edith envies Herbert’ as the reading of ‘Fa’ or ‘a is F’. (Both interpretations work.)

And with the readings

F* = * is luckier than Edith G* = Edith envies *

‘Every F is G’ will be interpreted as ‘Every(body who is) luckier than Edith, Edith envies’. The ‘—body’ part of ‘everybody’ expresses the choice of Universe; and ‘who is’ is gist a bit of English grammar — these words could be left out in another language (say Latin).

‘Every’, ‘some’, and ‘no’ belong neither to the category of names nor to that of predicates; they are quantifiers. Phrases like ‘every man’ and ‘some man’ seem more like names than predicates or quantifiers do; but jokes about ‘no man’ as a name are about 3000 years old, and it’s not too hard to see that whereas ‘Socrates’ names Socrates, ‘every man’ doesn’t name every man nor ‘some man’ some man.

A schema may be valid, in which case all its interpretations are valid. (4) is a valid schema. Any sound and conclusive argument is reducible to a valid schema. This does not mean: to one of the valid schemata discussed in chapters 10-13 of the present book. We shall later consider schemata in which the interpretations of the schematic letters belong to the category, not of predicates or of proper names, but of propositions; and there are many other schemata, bringing in expressions of yet other categories as the required interpretations. But any valid argument is reducible in principle to some valid schema; if our existing logic cannot supply such a schema, that only means we need to develop logic a bit further.

It may be necessary to add a truistic premise that can be taken as generally admitted: e.g. ‘Every man is an animal’ is a truism needed to reduce ‘Socrates is a man, therefore Socrates is an animal’ to schema (4). An argument purporting to be conclusive but not reducible to a valid schema is invalid. The use of schemata is to give us tests for validity other than the hit-or-miss method of finding an obviously valid or invalid argument that is sufficiently ‘on all fours with’ the argument under test.

We represent a conjunction of predicates just by writing predicate letters side by side. Thus if ‘F*’ represents ‘* is a philosopher’ and ‘G*’ represents ‘Murdoch dislikes *’, then ‘FG*’ represents ‘* is a philosopher and Murdoch dislikes *’.

Every predicate, like every proposition, has a negation or contradictory: we represent this by putting a dash (‘) after the sign for a predicate. Thus if ‘K*’ represents ‘* admires Wittgenstein’, then ‘K’*’ represents ‘* does not admire Wittgenstein’.

With letters read as above, and the Universe taken to be people, the sentence-schema ‘Every FK’ is G’ will come out as:

Every person who is a philosopher and does not admire Wittgenstein, Murdoch dislikes.

or: Murdoch dislikes every philosopher who does not admire Wittgenstein.

The skill of translating from schemata to English sentences, from English sentences to schemata, with the aid of a ‘dictionary’ that specifies the Universe of Discourse and interprets the schematic letters, is one that can be acquired only by practice: like learning a foreign language.

The following two exercises are worked out in slow motion, step by step. With practice, especially in simpler exercises, much of the work will become mental work; you will then not need to set out each step on paper.

I To translate into English the schema ‘Any AB is C’\

Univ. = persons; A* = * is a husband, B* = * drinks heavily, C* = the wife of * will have enough housekeeping money.

Step 1 Introduce mention of the Universe into the schema.

Result: Any person who is AB is C’

Step 2 Expand all conjunctions of predicate letters.

Result: Any person who is A and (who) is B is C’

Step 3 The grammatical predicate of the original schema is ‘* is C” where the star marks an empty place. Interpret ‘* is C’\

Result: Since ‘C*’ or equivalently ‘* is C’ is to be read


the wife of * will have enough housekeeping money, the contradictory ‘* is C’’ will have to be read as:

the wife of * will not have enough housekeeping money.

Step 4 In the empty place (marked with the star) of the result of Step 3, insert the phrase used in Step 2, ‘any person who is A and who is B’.

Result: The wife of any person who is A and who is B will not have enough housekeeping money.

Step 5 Use the ‘dictionary’ to interpret the relative clauses ‘who is A’ and ‘who is B’.

Since ‘* is A’ is to be read as ‘* is a husband’, ‘who is A’ becomes ‘who is a husband’. Since ‘* is B’ is to be read as ‘* drinks heavily’, ‘who is B’ is to be read as ‘who drinks heavily’.

Result of Step 5:

The wife of any (person who is a) husband (and) who drinks heavily will not have enough housekeeping money.

II. To express in a logical schema the sentence:

The wife of any husband who drinks heavily will not have enough housekeeping money.

Univ. = persons; A* = * is a wife, B* = *’s husband drinks heavily, C* = * will have enough housekeeping money. (Notice that this is not at all the same ‘dictionary’ as in Exercise I.)

Step 1 A moment’s thought shows that this example does not contain a ‘definite description’ purporting to describe just one wife, as in the sentence:

The wife of Sir Isaac Harman was arrested, but is about any wife, any person who is a wife and who (etc.). We may in fact paraphrase the sentence, bringing in the Universe explicitly, as follows:

Any person who is a wife and whose husband drinks heavily will not have enough housekeeping money.

Step 2 Replace the relative clauses ‘who is a wife’ and ‘whose husband drinks heavily’ by clauses containing schematic letters.

Since ‘* is a wife’ is the rendering of ‘A*’ or ‘* is A’, we rewrite ‘who is a wife’ as ‘who is A’.

Since ‘*’s’ husband drinks heavily’ is the rendering of ‘B*’ or ‘* is B’, we rewrite ‘whose husband drinks heavily’ as ‘who is B’.

Result of Step 2:

Any person who is A and (who) is B will not have enough housekeeping money.

Step 3 Replace the remaining English predicate in the result of Step 2 by using a schematic letter in the ‘dictionary’.

Result of Step 3:

Any person who is A and is B is C’: for, in view of the dictionary entry for ‘C*’ or ‘* is C’, ‘* is C’ will come out thus: ‘* will not have enough housekeeping money.’

Step 4 We contract ‘is A and is B’ to ‘is AB’.

Result: Any person who is AB is C’

Step 5 We now omit mention of the Universe, which is not needed since the ‘dictionary’ tells us what the Universe is for interpreting the schema.

Result : Any AB is C’.

In exercises like (II), you may not be given a ‘dictionary’, but have to invent a ‘dictionary’ that will turn an English sentence into a schema.


10. Logische Schemata

Die folgenden drei gültigen logischen Argumente unterscheiden sich zwar in der grammatischen Form, sind aber dennoch Beispiele für eine einzige logische Form:

(1) Alle Philosophen sind sterblich. Sokrates ist ein Philosoph. Ergo: Sokrates ist sterblich.

(2) Edith beneidet jeden, der glücklicher ist als Edith. Herbert ist glücklicher als Edit. Ergo: Edith beneidet Herbert.

(3) Herbert ist unglücklicher als alle, die Herbert beneiden. Edith beneidet Herbert. Ergo: Herbert ist unglücklicher als Edith.

Der einzig gangbare Weg, eine logische Form darzustellen, ist der von Aristoteles eingeschlagene Weg. Für unsere Beispiele erhalten wir folgendes Schema:

(4) Alle F sind G. a ist F. Ergo: a ist G.

Die Buchstaben F, G und a heißen schematische Buchstaben und (4) heißt ein logisches Schema (der Begriff stammt von Aristoteles). Lehrbücher der Logik gebrauchen oft den Ausdruck „Variablen“. Aber sie benutzen diesen Ausdruck auch für andere Verwendungsweisen einzelner Buchstaben – das soll uns im Augenblick nicht kümmern.

Jeder schematische Buchstaben vertritt einen bestimmten Bereich, aus dem er interpretiert, das heißt durch Namen und Begriffe dieses Bereichs ersetzt werden kann: Der Kleinbuchstabe a wird durch Eigennamen ersetzt. Wenn wir die Einsetzung vornehmen und statt „a ist G“ sagen „Sokrates ist ein Mensch“, interpretieren wir „a“ durch „Sokrates“. Wir sprechen von der Kategorie der Eigennamen.

Es ist zweckdienlich, sich für den Anfang Argumente vorzunehmen, die von Gegenständen handeln, die Elemente einer definierten Klasse oder einer Menge von bestimmten Gegenständen sind. Diese Menge von bestimmten Gegenständen wird der Gegenstandsbereich oder das Universum des Diskurses genannt. Das Universum, aus dem wir zurzeit Argumente interpretieren, ist die Klasse oder Menge der Menschen.

In einem solchen Universum treffen verschiedene Sachverhalte in Bezug auf jedes Mitglied der Klasse oder Menge zu oder auch nicht zu, zum Beispiel, dass er oder sie ein Philosoph ist, dass Edith ihn oder sie beneidet, dass er oder sie glücklicher als Edith ist. Sprachliche Ausdrücke, die angeben, welche Eigenschaft auf einen Gegenstand einer bestimmten Kategorie zutrifft oder nicht zutrifft, heißen Prädikate. Prädikate sind eine von den Eigennamen zu unterscheidenden logische Kategorie. Die Großbuchstaben F und G stehen für Prädikate.

Das Wort „ist“ ist ein bloßes Zugeständnis an die Grammatik der deutschen Sprache und spielt keine wesentliche logische Rolle (andere Sprachen können leicht darauf verzichten, zum Beispiel das Lateinische: „Roma locuta, causa finita“ statt „Roma locuta, causa finita est“). Für die Logik ist nur entscheidend, dass ein Eigenname und ein Prädikat zusammenkommen, um einen Satz zu bilden. Logiker gebrauchen gewöhnlich die kanonische Bezeichnung „Fa“ anstelle von „a ist F“, die ich benutzt habe. Wir können demnach getrost die Sätze „Edith beneidet Herbert“ und „Sokrates ist sterblich“ als konkrete Interpretationen von Fa ansehen, auch wenn in letzterem Satz ein „ist“ enthalten ist und in ersterem nicht.

Der schnellste und leichteste Weg zu Interpretationen von Großbuchstaben für Prädikate geht so: Wir heften an den Buchstaben ein Sternchen als Zeichen, dass hier eine Lücke ist, die mit einem Namen aus unserem altbekannten Universum menschlicher Wesen zu füllen ist. Schreiben wir also:

a = Edith, F* = * beneidet Herbert oder auch
a = Herbert, F* = Edith beneidet *

Dann erhalten wir durch Interpretation des Schemas Fa oder a ist F: Edith beneidet Herbert.

Und mit den Schemata

F* = * sind glücklicher als Edith
G* = Edith beneidet *

interpretieren wir den Ausdruck Alle F sind G auf folgende Weise: Edith beneidet alle, die glücklicher sind als Edith. Der Ausdruck alle steht für die Wahl unseres Universums, und das grammatische Prädikat „sind“können wir wie gesagt getrost streichen.

Die Ausdrücke „alle“, „einige“ und „keiner“ gehören weder zur Kategorie der Eigennamen noch zu der Kategorie der Prädikate, sie sind Quantoren, die dem Schema vorangestellt werden und die die in ihm auftretenden Variablen binden, wie wir sagen:

(Ea) (Fa) können wir lesen als: Es gibt mindestens ein a so, dass gilt: a ist F.
(a) (Fa) können wir lesen als: Für alle a gilt, a ist F.
(¬ a) (Fa) können wir lesen als: Es existiert kein a so, dass gilt: a ist F

Wendungen wie „jedermann“ oder „einige“ sehen eher aus wie Namen als Prädikate oder Quantoren. Doch Scherze über einen gewissen Niemand, womit schon Odysseus den Polyphem an der Nase lang führte, sind über 3000 Jahre alt, und es ist unschwer zu sehen, dass „Sokrates“ wohl Sokrates meint, doch „niemand“ keinen.

Ein Schema ist dann gültig, wenn alle seine Interpretationen gültig sind, bei denen die Quantoren sowie die schematischen Buchstaben für Namen und Prädikate durch Wörter wie „alle“, „einige“ oder „keine“ beziehungsweise durch Namen von Personen oder Objekten und durch Begriffe von Eigenschaften restlos ersetzt werden. In diesem Sinne ist das Schema (4) gültig. Jedes wohlgebildete und schlüssige Argument kann auf ein gültiges logisches Schema zurückgeführt werden. Das heißt nicht, dass wir in den Kapiteln 10–13 dieses Buches alle möglichen gültigen logischen Schemata vorstellen werden. Wir werden später logische Schemata kennenlernen, bei denen die Interpretationen der schematischen Buchstaben nicht auf die Kategorien von Eigennamen und Prädikaten zurückgreifen, sondern auf die Kategorie von Aussagen (Propositionen). Und es gibt noch viele andere Schemata, die zu ihrer Interpretation wiederum die Verwendung anderer Kategorien fordern. Im Prinzip aber ist jedes gültige Argument auf irgendein gültiges logisches Schema zurückführbar. Wenn wir kein solches Schema aus unserem logischen Vorrat ziehen können, müssen wir die Logik eben ein bisschen weiterentwickeln.

Es kann notwendig sein, eine Binsenweisheit unter die Prämissen aufzunehmen, um das Argument zu vervollständigen: „Jeder Mensch ist ein Lebewesen“ ist so eine Binsenweisheit, die wir benutzen, um den Satz „Sokrates ist ein Mensch, daher ist er ein Lebewesen“ auf das Schema (4) zurückführen zu können. Ein Argument, das vorgeblich schlüssig ist, aber nicht in dieser Weise auf ein gültiges logisches Schema zurückgeführt werden kann, ist ungültig. Der Nutzen von logischen Schemata besteht darin, uns ein Prüfverfahren für gültige Argumente an die Hand zu geben, eine Methode, die uns von den Zufallstreffern unabhängig macht, bei denen wir auf den Fund eines plausiblen oder evidenten gültigen oder ungültigen Arguments angewiesen sind, das dem zu prüfenden Argument wie ein Ei dem anderen gleicht.

Wir stellen die Verbindung von Prädikaten dar, indem wir die Großbuchstaben, die für sie stehen, einfach aneinanderreihen. Wenn also „F*“ bedeutet „* ist ein Philosoph“ und „G*“ bedeutet „Murdoch verachtet *“, dann bedeutet „FG*“ „* ist ein Philosoph und Murdoch verachtet *“.

Jedes Prädikat kann wie jeder Satz auch negiert werden. Wir stellen die Negation eines Prädikats durch einen vertikalen Strich nach dem Großbuchstaben für das Prädikat dar. Wenn also „K*“ bedeutet „* bewundert Wittgenstein“, dann bedeutet „K’*“ „* bewundert Wittgenstein nicht“.

Mit der angegebenen Interpretation der Prädikatzeichen und der Wahl unseres Universums oder Gegenstandsbereichs können wir das Satzschema „Für alle a: FK’ sind G“ folgendermaßen lesen:

Alle Menschen, die Philosophen sind und Wittgenstein nicht bewundern, verabscheut Murdoch.

Mithilfe eines Wörterbuchs, das den Gegenstandsbereich ausweist und Übersetzungen für die schematischen Buchstaben an die Hand gibt, erlernen wir durch die Praxis (ähnlich wie eine Fremdsprache) die Kunst, logische Schemata sinnvoll und korrekt als deutsche Sätze zu interpretieren, wie auch umgekehrt, deutsche Sätze auf logische Schemata zurückzuführen.

Die folgenden beiden Übungen bringen einen geistigen Ertrag, wenn man sie in Zeitlupe durchgeht, Schritt für Schritt. Mit etwas Übung werden wir bald leichtere Aufgaben im Kopf bewältigen können und brauchen nicht mehr jeden kleinen Schritt auf dem Papier festzuhalten.

I. Übersetze das Schema „Jedes AB ist ein C’“ in einen deutschen Satz.

Gegenstandsbereich: Personen. „A*“ = „* ist ein Ehemann“, „B*“ = „* trinkt zu viel“. „C*“ = „die Frau von * hat genügend Haushaltsgeld“.

Schritt 1: Füge den Gegenstandsbereich in das Schema.

Ergebnis: „Jede Person, die AB ist, ist C’.“

Schritt 2: Mache die Verbindung der Prädikatszeichen deutlich.

Ergebnis: „Jede Person, die A und B ist, ist C’“.

Schritt 3: Das grammatische Prädikat des ursprünglichen Schemas lautet: „* ist C“, mit dem Sternchen für die Leerstelle des grammatischen Subjekts. Übersetze nun „* ist C“.

Ergebnis: „C*“ oder sein Äquivalent „* ist C“ ist so zu lesen:

„Die Frau von * hat genügend Haushaltsgeld.“ Die Negation dieses Satzes „* ist C’“ heißt übersetzt:
„Die Frau von * hat nicht genügend Haushaltsgeld.“

Schritt 4: Für den Platzhalter (mit dem Sternchen) im Resultat von Schritt 3 setze nunmehr die in Schritt 2 gebrauchte Wendung ein: „jede Person, die A und B ist“.

„Die Frau einer jeden Person, die A und B ist, hat nicht genügend Haushaltsgeld.“

Schritt 5: Benutze das Wörterbuch, um die Relativsätze „die A ist“ und „die B ist“ zu interpretieren.
„A*“ heißt „* ist ein Ehemann“, also heißt „der A ist“ „der ein Ehemann ist“.
„B*“ heißt „* trinkt zu viel“, also heißt „der B ist“ „ der zu viel trinkt“.

„Die Frau einer jeden Person, die ein Ehemann ist und zu viel trinkt, hat nicht genügend Haushaltsgeld.“

II. Führe folgenden deutschen Satz auf ein logisches Schema zurück:
„Die Frau eines Ehemannes, der zu viel trinkt, hat nicht genügend Haushaltsgeld.“

Universum: Personen. „A*“ = „* ist eine Ehefrau“. „B*“ = „*s Ehemann trinkt zu viel“. „C*“ = „* hat nicht genügend Haushaltsgeld“. (Achtung: Wir haben hier keineswegs dasselbe Wörterbuch vorliegen wie in der ersten Übung!)

Schritt 1: Eine kurze Überlegung überzeugt uns davon, dass unser Beispielsatz keine definite Beschreibung enthält. Eine definitive Beschreibung greift genau einen Einzelfall aus dem vorgegebenen Universum herausgreift, in unserem Falle würde sie also genau auf eine einzige Frau zutreffen wie in dem Satz aus dem gleichnamigen Roman von H. G. Wells:
„Die Frau von Isaac Harman wurde verhaftet.“

Unser Satz spricht von einer beliebigen Ehefrau, irgendeiner Frau, die verheiratet ist. Wir werden also den Satz mit voller Erwähnung des angenommenen Universums so umschreiben:
Jede Person, die eine Ehefrau ist und deren Mann zu viel trinkt, hat nicht genügend Haushaltsgeld.

Schritt 2: Ersetze die Relativsätze „die eine Ehefrau ist“ und „deren Ehemann zu viel trinkt“ durch schematische Buchstaben.
„* ist eine Ehefrau“ ist die Wiedergabe von „A*“ oder „* ist A“. Also schreiben wir für „die eine Ehefrau ist“ „ die A ist“.
„*s Ehemann trinkt zu viel“ ist die Wiedergabe von „B* oder „* ist B“. Also schreiben wir für „deren Ehemann zu viel trinkt“ „der B ist“.

„Jede Person, die A und B ist, hat nicht genügend Haushaltsgeld.“

Schritt 3: Ersetze das verbleibende deutsche Prädikat im Ergebnis von Schritt 2 durch einen schematischen Buchstaben aus dem Wörterbuch.

„Jede Person, die A und B ist, ist C’.“
Denn, wie wir im Eintrag des Wörterbuchs unter „C*“ oder „* ist C“ sehen, bedeutet „* ist C’“ „* hat nicht genügend Haushaltsgeld“.

Schritt 4: Wir ziehen „ist A und ist B“ zusammen zu „ist AB“.

„Jede Person, die AB ist, ist C’.“

Schritt 5: Wir können den ausdrücklichen Hinweis auf den Gegenstandsbereich streichen, denn das Wörterbuch gibt uns diesen ja vor, wenn wir das logische Schema interpretieren wollen.

„Jedes AB ist C’.“

In Übungen wie dieser können wir auf kein vorhandenes Wörterbuch zurückgreifen, sondern müssen selbst ein Wörterbuch aufbauen, mit dessen Hilfe wir einen deutschen Satz auf ein logisches Schema zurückführen können.

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